后方交会

后方交会是指仅在待定点上设站，向三个已知控制点观测两个水平夹角a、b，从而计算待定点的坐标，称为后方交会。交会测量是加密控制点常用的方法，它可以在数个已知控制点上设站，分别向待定点观测方向或距离，也可以在待定点上设站向数个已知控制点观测方向或距离，而后计算待定点的坐标。常用的交会测量方法有前方交会、后方交会、侧边交会和自由设站法。

定义

如下图所示，已知 A、B、C 三点的坐标，通过测量三个角度 α、β、γ 即可求出这三个角度顶点 P 的坐标。此即为后方交会。

计算公式一

后方交会有如下计算公式：

实际测量时一般是使用全站仪测量三个方向角 PA、PB、PC。根据这三个方向角计算如下六个变量，然后再代入上面的公式计算点P的坐标。

计算公式二

全站仪测量三个方向角 PA、PB、PC。根据这三个方向角计算点P坐标的公式如下：1

危险圆

点 P 在三角形 ABC 的外接圆上时，α、β、γ 将保持不变。如此一来，点 P 的坐标将有无穷个——外接圆上的任意一点均可以是点 P。此时，使用计算公式计算点 P 坐标时，可能会因为除以零而得到无效解。

点 P 靠近外接圆时，很小的观测误差都会引起点 P 位置的较大偏差。因此，称三角形 ABC 的外接圆为危险圆。后方交会时，应避免点 P 离危险圆很近。

精度

假定水平方位角的观测中误差为，则有：

点P的定位精度为：

定向精度为：

上面两个公式中的 按下面的公式计算

注意：当点P在危险圆上时将等于零，于是定位精度与定向精度将为无穷大。2

测边后方交会自由设站放样方法的应用

郑州—西安(以下简称郑西)铁路客运专线是我国首批开建的三条时速达350 km/h的高标准客运专线之一。轨道结构为整体式无碴轨道。为了满足高平顺性、高舒适性、高安全性和免维修要求，相关技术标准均达到了当今国际先进水平。郑西客运专线新渭南高架车站(DIK415+547.6～DIK417+507.07)位于渭南市城市规划区北边缘，渭河大堤的南侧，渭河沙王公路大桥西南侧。该车站设计采用高架桥结构，在我国为首例。

一般放样方法的局限性

在两级控制网(CPⅠ，CPⅡ)建立起来以后，郑西客运专线渭南高架车站桥面系以下的施工测量工作主要包括：定期进行控制网复测，钻孔桩放样，放样承台边线，放样墩身，放样垫石边线，放样现浇梁中线，调整悬灌模板，变形(沉降)监测等等。一般工程建筑物平面位置的测设方法有:直角坐标法、极坐标法、角度交会法、距离交会法等。随着科技的发展，测量仪器日益先进，全站仪在工程建设领域的应用已经十分普及，建筑物平面位置的测设一般多采用全站仪极坐标法进行放样。但是，为了避免施工过程中对控制点的破坏，更好的保护控制点，线性工程的控制网一般沿线路走向，布设在线路的两侧，导线控制点距离线路中心100m～200m。如图1所示，A，B，C为控制点，当需放样基坑中的承台边线时，若运用极坐标法，那么在A点，B点安置仪器，均看不到基坑中的承台四角，需要设置支导线，到基坑附近安置仪器，然后后视A点或B点，进而放样P1，P2，P3，P4四点。这样，就增加了误差来源和工作强度，另外支导线点没有检核条件，而且在基坑边设置的支导线点经常被破坏掉，保护性不强。

测边后方交会放样方法简介

（1）测边后方交会放样方法

郑西客运专线新渭南车站施工放样利用Leica TCA1800型全站仪，测角精度为1″，测距精度为1ppm+2ppm。LeicaTC系列的全站仪本身自带的程序里就有后方交会(自由设站法)。具体步骤如下:在任意点P进行仪器整平→选择后方交会程序→输入任意点P点名→输入已知点A信息(点名、坐标值)→盘左后视已知点A并测距→盘右后视已知点A并测距→输入已知点B信息(点名、坐标值)→盘左后视已知点B并测距→盘右后视已知点B并测距→设置P点为测站点→测量或放样点位。

（2）点位放样精度分析

点位放样精度分析公式为：

通过精度分析，我们可以发现：1)当γ=90°时，交会精度最好；2)交会边长在3条及以上时，精度能得到保证。本文中的步骤只是提到后视两个已知点的情况，Leica TCA1800型全站仪可以同时后视若干个，最多可以后视10个已知点，以增加观测条件，提高精度。

研究结论

通过测距后方交会法进行自由设站法施工放样，其优点主要有以下几点：

1)自由设站不受已知点位位置的限制。特别是在放样基坑中的承台边线、放样垫石边线、调整悬灌模板、放样墩身、放样现浇梁中线等工作中更为突出；

2)不用进行仪器的对中工作，仅需精平全站仪，节约了时间和劳动强度；

3)减少了支导线的布置，在一定程度上提高了放样精度。随着工程难度的增大，工程技术人员不仅要重视控制测量的精度，而且还应该重视放样精度的提高。3

本词条内容贡献者为:

陈红 - 副教授 - 西南大学