第五章 数理统计
第8节：分位点：数据的分水岭
在数据分析和统计学中，分位点（Quantile）是一个非常重要的概念。它通过将数据集分成若干个相等的部分，帮助我们从不同角度理解数据的分布。分位点不仅在统计学中具有广泛应用，而且在人工智能（AI）领域中也扮演着关键角色，尤其是在数据预处理、异常值检测、模型评估等方面。
8.1 分位点的基本概念
分位点是将数据集划分为若干个相等部分的数值。具体而言，分位点指的是将一个排序后的数据集划分为若干个子集的界限点。常见的分位点有：
四分位数（Quartiles）：将数据集划分为四个相等部分，常见的四分位数包括：
第一四分位数（Q1）：下四分之一的分界点，表示数据集的第25百分位数。第二四分位数（Q2）：中位数，表示数据集的第50百分位数。第三四分位数（Q3）：上四分之一的分界点，表示数据集的第75百分位数。最大值和最小值：分别为数据集中的最大值和最小值。
百分位数（Percentiles）：百分位数是将数据集划分为100个相等部分的分位点。例如，第90百分位数表示数据集中的第90%数据点位于该值之下。
分位点的计算：
假设我们有一个排序后的数据集 X=[x1,x2,...,xn]，并且我们想找到第 p 百分位数（0≤p≤100）。对于百分位数的计算，有两种常用的方法：
线性插值法： 如果数据集的大小 n 不是百分位位置的整数，则可以采用线性插值来估算该位置的值。分段法： 直接将数据集按位置进行分割，不进行插值。
以下是两种常见的分位点计算方法的计算例子：
1. 线性插值法
2. 分段法
总结：
线性插值法适用于需要在数据点之间进行精确计算的情况，尤其是当百分位位置不是整数时。分段法适用于百分位位置正好落在数据点位置上的情况，通常用来简化计算。
这两个方法都是计算分位点的常见方式，具体使用哪种方法取决于数据的分布以及计算的精度要求。
8.2 分位点的AI应用
案例一：异常值检测
在数据科学和AI中，异常值（Outliers）是指那些与大部分数据相比，显得非常不同的数据点。异常值可能表示数据中的错误，或者是实际的罕见事件。在许多AI任务中，识别和处理异常值是数据预处理的重要步骤。
如何使用分位点检测异常值：
使用分位点来检测异常值的一种常见方法是**箱型图（Boxplot）**方法，这基于数据的四分位数进行判断。具体步骤如下：
应用场景：
这种基于分位点的异常值检测方法，特别适用于金融数据分析、健康数据分析、IoT数据等领域。在AI模型中处理这些异常值有助于提高模型的准确性和鲁棒性。
案例二：AI模型的评估与比较
在训练AI模型时，我们通常会用损失函数（Loss Function）来衡量模型的性能，但损失值的分布可能并不均匀，尤其是当数据集包含噪声或者极端数据时。通过使用分位点，我们可以更好地评估模型的表现，特别是评估模型在不同区域的预测能力。
如何使用分位点评估AI模型：
假设我们正在训练一个回归模型，目标是预测房价。我们有实际的房价值 和模型预测的房价值 。为了评估模型，我们不仅仅看平均绝对误差（MAE）或者均方误差（MSE），还可以使用分位点来查看模型在不同区间的预测表现。
计算分位点误差：
我们可以计算模型在特定分位点（如25%、50%、75%）的预测误差。例如，对于第25百分位误差，我们计算预测值和实际值之间的误差，并查看它是否大于实际值的第25百分位误差。
比较不同模型：
假设我们有多个回归模型（如线性回归、随机森林、深度神经网络等），我们可以计算每个模型在不同分位点上的误差，例如第90百分位误差，并比较各个模型在不同数据区间的表现。这可以帮助我们判断哪个模型在处理数据的不同部分时更加稳定或准确。
应用场景：
这种基于分位点的模型评估方法适用于那些不均匀分布的任务，比如预测价格、检测稀有事件（如欺诈检测）等。
案例三：数据标准化与处理
在许多机器学习算法中，尤其是需要计算距离（如K最近邻、支持向量机等）的算法中，数据的标准化是一个至关重要的步骤。标准化常常基于分位点，尤其是使用Robust Scaler方法，它以四分位数和IQR为基础进行数据的标准化处理。
如何使用分位点进行标准化：
应用场景：
这种基于分位点的标准化方法特别适用于数据中有异常值的情况，避免了标准化方法对异常值的影响，尤其是在数据中存在极端值时，Robust Scaler 可以有效地保持数据的中心化和缩放，同时避免极端数据点对模型训练的干扰。这种标准化方法在处理如金融数据、传感器数据、健康数据等具有噪声或离群值的数据集时非常有效。
应用场景：
当你在使用K近邻（KNN）或支持向量机（SVM）等距离敏感的模型时，采用基于分位点的标准化方法可以显著提高模型的鲁棒性和准确性，特别是在面对离群点和极端值时。
8.3 总结
分位点是数据统计分析中的一种重要工具，它能够帮助我们更清晰地理解数据的分布特征、异常值的检测以及模型的评估。在人工智能的应用中，分位点有着广泛的用途，具体包括：
异常值检测：通过四分位数和箱型图方法，我们能够有效地识别并处理数据中的异常值，防止它们对模型训练和预测产生负面影响。
模型评估与比较：在AI模型的评估中，分位点可以帮助我们在不同数据区间内检视模型的表现，尤其是在不均匀分布的数据集上，提供更全面的评估指标。
数据预处理和标准化：分位点用于数据标准化时，能够有效避免异常值对标准化过程的干扰，特别是在数据具有较大噪声或极端值的情况下，增强数据的稳定性和模型的鲁棒性。
总的来说，分位点不仅是统计学中一个重要的工具，也在AI应用中扮演着不可或缺的角色。在数据科学的实际应用中，灵活运用分位点的方法能够帮助我们更好地处理数据、优化模型，并提高模型的准确性和稳定性。